Lorsque le prélèvement est possible, le médecin réanimateur de l'hôpital est garant de la préservation des organes de la personne décédée. On ne peut les maintenir en état de fonctionnement que quelques heures dans un équilibre très instable.

Après le prélèvement, les greffons sont placés dans des glacières hermétiques où la température ne dépasse pas 4°C : ils sont en hypothermie.

Chaque organe prend immédiatement le chemin de l'hôpital où l'attend son receveur. Le moyen de transport le plus rapide compte tenu de la distance à parcourir est utilisé : ambulance, train, avion...

Chaque minute compte. Entre le moment où l'organe est prélevé et le moment où il est greffé, il ne faut pas dépasser 3 à 4 heures pour un coeur, 6 heures en moyenne pour un foie, 6 à 8 heures pour un poumon, 24 à 36 heures pour un rein. Ces délais sont des moyennes qui dépendent de l'état de l'organe. Néanmoins, plus le délai est court, meilleur sera le résultat de la greffe.